Народився 9 червня 1951 р. в с. Красне Поле Марківського району Луганської області в багатодітній родині, де був єдиним сином. У 1974 р. закінчив Мелітопольський інститут сільського господарства за фахом інженер-механік і був направлений на посаду інженера-керівника ремонтної майстерні радгоспу-заводу «Золота балка». З цього часу все життя, трудові досягнення були пов’язані з Севастополем, який став малою батьківщиною для Леоніда Михайловича. Майже десятиліття було віддано праці у радгоспі «Золота балка» інженером-організатором, начальником цеху. Але у 1985 р. переходить до громадської роботи до Балаклавського райвиконкому на посади заступника, першого заступника голови, голови. А вже у 1992 р. призначається заступником голови Севастопольської міської державної адміністрації. В цей час здобуває ще одну освіту, яка необхідна сучасному керівникові, — економічну в Українській школі міжнародного бізнесу за спеціальністю «зовнішньоекономічна діяльність, організація торгових і фінансових організацій» (1991). У 1994—1997 рр. обіймає посаду директора підприємства «Севагротранс». З 1997 року на державній роботі на посадах голови податкової інспекції в Нахімовському районі (1997—1998); голови Державної податкової адміністрації в м. Севастополі (1998—1999). 1999 рік став знаменним в житті як Л.М. Жунь­ка, так і його улюбленого міста. Леоніда Михайловича призначають на посаду голови Севастопольської міської державної адміністрації. Вступаючи на посаду, він проголосив головну лінію стратегічних дій губернатора: «Досить виживати. У такому місті, як наше, потрібно жити», оприлюднює особисті програми мінімум і максимум розвитку міста. Програма-мінімум передбачала організацію в місті цілодобової подачі води, чого ніколи не було за весь радянський та пострадянський період історії. Програма-максимум — будівництво газового дюкера через Севастопольську бухту, яке одразу може вирішити другу глобальну проблему Севастополя: стабілізацію теплопостачання. У найкоротші терміни були створені сприятливі умови для розвитку підприємницької діяльності та залучення інвестицій, нормалізувалися відносини між флотами. Програму-мінімум Л.М. Жунько виконав за два роки. Бюджет міста за шість років збільшився у 3,5 рази, було розроблено і втілено рекордну кількість інноваційних програм соціально-економічного розвитку міста, які справляють ефект і сьогодні. У 2008—2010 рр. представник Президента України в Автономній Республіці Крим. Зараз очолює міську організацію Народної партії. За результатами останніх виборів до місцевої ради Народна партія вперше має свою фракцію на чолі з Л.М. Жуньком. У липні 2011 р. Леоніда Михайловича призначають на посаду керівника Національного заповідника «Херсонес Таврійський». Перед генеральним директором Л.М. Жуньком стоїть амбітне завдання — домогтися приєднання Херсонеса до програми культурної спадщини ЮНЕСКО. Нагороджений орденами «За заслуги» ІІІ і II ступенів, Почесною грамотою Верховної Ради України; знаком Севастопольської держміськ-адміністрації і міської ради «За заслуги перед містом», за підтримку розвитку підприємництва в м. Севастополі; присвоєне почесне звання «Заслужений працівник органів місцевого самоврядування АР Крим». За особисті заслуги перед церквою нагороджений п’ятьма церковними орденами. За підсумками 1999 року удостоєний міжнародної неурядової нагороди «Золотий Меркурій». Одружений, має двох дочок.