Народився 25 жовтня 1956 р. у с. Рихальське Ємільчинського району Житомирської області в сім’ї робітників. Трудову діяльність розпочав різноробом радгоспу «Рихальський». Закінчивши курси водіїв, працював ремонтником механізованої майстерні. Вищу освіту здобув у 1980 р. на лікувальному факультеті Тернопільського державного медичного інституту. Працював головним лікарем Базарської дільничної лікарні Народицького району (1981–1984) та Попільнянської центральної районної лікарні (1984–1987), а з 1987 по 1998 рр. — головним лікарем Новоград-Волинської центральної районної лікарні (з 1992 р. — Новоград-Волинське міськрайонне територіальне медичне об’єднання). За час керівництва В. Л. Весельського побудовано новий лікувальний корпус, кабінети амбулаторного прийому поліклініки оснащені сучасними апаратами, а профілактично-діагностичне відділення — новими апаратами ультразвукового дослідження. Довів необхідність і відкрив медичне училище у Новоград-Волинському. Вперше в області за ініціативою Віктора Леонідовича впроваджено спільне перебування матері з дитиною в пологовому відділенні. У 1998 р. призначений заступником міністра охорони здоров’я України. З 2000 р. — заступник начальника головного управління охорони здоров’я з лікувально-профілактичної роботи Київської міської державної адміністрації. У 2003–2005 рр. працював у Міністерстві внутрішніх справ України на посадах першого заступника, заступника начальника департаменту медичного забезпечення та реабілітації та заступника начальника лікарні відновлювального лікування МВС України. В цей період йому присвоєно звання підполковник міліції, відзначений «Почесним знаком МВС України». З 2005 р. — виконуючий обов’язки, а згодом — начальник головного управління охорони здоров’я Дніпропетровської ОДА. Того ж року призначений першим заступником міністра охорони здоров’я України. З 2006 р. — заступник начальника медичного управління Державного управління справами Президента України. У 2010–2011 рр. — начальник відділу із забезпечення діяльності міністра МОЗ України. Протягом 2011–2015 рр. — радник Президії, помічник президента Національної академії медичних наук України. У 2011 р. захистив дисертацію на здобуття наукового ступеня кандидата медичних наук зі спеціальності «Соціальна медицина». Наказом міністра оборони України № 1082 від 14.10.2010 року присвоєно чергове військове звання полковника медичної служби. Земляки, оцінивши здобутки Віктора Весельського, постійно висловлюють йому свою довіру у виборах до органів місцевого самоврядування. Обраний депутатом Базарської сільської ради (1982–1984), Попільнянської районної ради (1985–1987). Депутат трьох скликань Житомирської обласної ради (1990–1999), голова комісії обласної ради з охорони материнства і дитинства (1998–1999). У 2015 р. обраний міським головою Новограда-Волинського. Принциповість і вимогливість у роботі В. Л. Весельського поєднуються з людяністю, щирістю, добротою і чуйністю. Авторитет, здобутий серед колег та мешканців міста, забезпечується відповідальністю і компетентністю, виваженістю та активною громадською позицією у ставленні до своїх професійних обов’язків та бажанням допомогти людям. Нагороджений Почесною грамотою Кабінету Міністрів України, медаллю «За трудову відзнаку», нагрудним знаком «Відмінник охорони здоров’я».