Народився 19 листопада 1936 року в с. Зібранівка Снятинського району Івано-Франківської області в родині хліборобів. З дитинства навчений до праці, талановитий, надзвичайно вимогливий до себе Роман Яремійчук закінчив з відзнаками Дрогобицький нафтовий технікум (1950–1954) та нафтовий (газонафтопромисловий) факультет Львівського політехнічного інституту (1954–1959). Відразу після отримання диплому і до грудня 1966 року працював помічником бурильника, інженером, старшим інженером та начальни­ком дільниці, начальником виробничо-техніч­ного відділу та заступником директора контори розвідувального буріння тресту «Західбурнафтогаз». Навчання в очній аспірантурі Всесоюзного НДІ бурової техніки (м. Москва) проходило під науковим керівництвом професора М.С. Тимофеєва та завершилося у червні 1969 року успішним захистом кандидатської дисертації. Після присудження наукового ступеня кандидата технічних наук був призначений керівником відділу промислових випробувань цього ж інституту в м. Івано-Франківську, який очолював сім років. З числа співробітників цього відділу 14 захистили кандидатські дисертації, пізніше 4 із них отримали вчений ступінь доктора технічних наук. Згодом 5 колишніх співробітників стали лауреатами Державної премії України в галузі науки і техніки. О. Мессер став директором Всесоюзного НДІ бурової техніки в м. Москві, Г. Чайковський – заступником директора, а Л. Райхерт – очолював один із найбільших відділів цього ж інституту.

У 1976 році Романа Семеновича запросили в Івано-Франківський інститут нафти і газу (нині — Національний технічний університет нафти і газу) на посаду проректора з наукової роботи (1976–1986 рр.). Упродовж наступних років до 2010 року працював деканом двох факультетів та завідувачем двох кафедр. У 1993 році ініціював створення кафедри морських нафтогазових споруд, а у 2002 році спільно з Національною академією природоохоронного та курортного будівництва був організатором і першим деканом спільного з ІФНТУНГ факультету морських нафтогазових технологій. Роман Семенович Яремійчук – член двох спеціалізованих рад із захисту кандидатських та докторських дисертацій, призначався членом експертної ради ВАК України. Він є членом Президії колегії Державної комісії з корисних копалин України. Під науковим керівництвом професора Р.С. Яремійчука захищено 19 кандидатських та 2 докторські дисертації. Науковець є автором 55 книг, що друкувалися в Україні, Росії, Польщі, США та Китаї, понад 300 наукових статей та біля 100 публікацій у газетах та журналах України. Йому належить 166 винаходів, підтверджених авторськими свідоцтвами СРСР та патентами України, Росії, Аргентини та Болгарії. Професор Р.С. Яремійчук є членом редакційних рад та колегій п’яти науково-технічних журналів в Україні, журналів «Coeltubing Times» (Велика Британія) та «Азербайджанское нефтяное хозяйство» (Азербайджан).

Його найбільш важливі роботи присвячені міцності та деформуванню стінок свердловин, технології освоєння свердловин зі створенням багаторазових миттєвих депресій і репресій на пласт за допомогою струминних апаратів (ці технології та обладнання стали серійними в Росії, Україні та багатьох інших країнах світу). Останніми роками розвиваються роботи по дослідження кавітаційної пульсації в потоці бурового розчину на вибої свердловини, а також здійснено обґрунтування кавітаційної обробки високов’язких рідин для зменшення їх в’язкості при підійманні нафти на поверхню та для транспортування в’язких рідин через трубопровід. Роман Семенович з 1978 до 2003 р. очолював президію науково-технічних товариств Івано-Франківської області, обирався головою Івано-Франківського відділення наукового товариства ім. Шевченка (1994—2003 рр.), головою опікунської ради української гімназії в Івано-Франківську (1991—2003 рр.), з 2005 року обраний заступником голови Кримського відділення Наукового товариства ім. Шевченка. Нагороджений Російською академією природничих наук почесною срібною медаллю ім. В. Вернадського, орденом «За заслуги» ІІІ ступеня. У 1981 та 1982 роках став лауреатом премій Мінвузу СРСР та Мінвузу УРСР за наукові роботи та цикл монографій, лауреат конкурсу ім. Е.Б. Чекалюка Української нафтогазової академії за цикл підручників українською мовою. ВДНГ СРСР нагороджувало Р.С. Яремійчука 13 золотими, срібними та бронзовими медалями за представлені експонати нової техніки, а ВДНГ УРСР – 7 дипломами І та ІІ ступеня за експонати та демонстрування їх на виставці.

Володіє галузевими нагородами НАК «Нафтогаз України», ВАТ «Укрнафта», ДАТ «Чорноморнафтогаз» за внесок у розвиток техніки та технології буріння свердловин. У 1986 році нагороджений Міністерством нафтової промисловості медаллю «Заслужений нафтовик СРСР». Роман Семенович має чотирьох внучок та внуків – Христина і Габріела, Михайлик та Дмит­рик. Старша донька Ліліана – дитячий хірург, кандидат медичних наук, а молодша Ольга – артистка балету Львівського національного академічного театру ім. Соломії Крушельницької. Дружина Кристина – з 1969 року, після закінчення Львівської державної консерваторії ім. М.В. Лисенка і до виходу на пенсію, працювала викладачем класу «фортепіано» в Івано-Франківському університеті ім. Василя Стефаника. Р.С. Яремійчук відвідав 30 країн світу (США, Франція, Бразилія, Фінляндія, Аргентина, В’єтнам та інші). Його життєве кредо: «Не відкладати роботу на завтра», «Не кривдити людей, допомагати їм у скрутний час».