Народився 11 жовтня 1943 року в с. Тру­бетчині Трубетчинського району Липецької області (Російська Федерація). З 1966 року — студент сангігієнічного факультету Харківського медичного інституту, в 1972 році отримав диплом лікаря. Після закінчення інституту вступив до аспірантури Інституту проблем кріобіології і кріомедицини (ІПКіК) НАН України. З 1976 по 1980 рр. працював молодшим, а з 1980 року — старшим науковим співробітником. У 1986 році призначений завідувачем лабораторії моноцитарно-фагоцитарних елементів відділу кріоімунології. У 1993 році обраний завідувачем відділу кріопатофізіології. Кандидатську дисертацію захистив у 1978 р., докторську — у 1988 році. А.М. Гольцев є одним з ініціаторів і основних виконавців розробок технологій кріо­кон­сервування, довгострокового збереження та забезпечення функціональної повноцінності біо­об’єктів різного походження (кісткового мозку, фетальної печінки, нервової тканини, кордової крові тощо) з метою їх використання при лікуванні хвороб аутоімунного генезу. Академік А.М. Гольцев вперше довів можливість спрямованої зміни імунореактивності алогенного кісткового мозку після певних режимів кріоконсервування з метою лікування хвороби «трансплантат проти хазяїна». У руслі цих досліджень виконуються конкурсні роботи, присвячені сучасному напрямку нанотехнологій за «Програмою цільових ініціатив з досліджень та розвитку» УНТЦ і НАН України. Під керівництвом академіка А.М.Гольцева на молекулярному рівні проводяться дослід­ження з вивчення впливу факторів кріо­консер­вування на стан генома клітин стовбурового компартменту із різних джерел. Вивчається стан генетичного апарата імунокомпетентних клітин після застосування фетального матеріалу в умовах «інтактного» організму та при низці пато­логій. Протягом декількох років згадані роботи виконуються в рамках розділу комплексної програми НАН України «Розроблення новітніх медико-біологічних та біоінженерних техноло­гій для здоров’я людини та народного господарства» на високому методичному рівні, з використанням сучасного обладнання. З 1980 року Анатолій Миколайович є вченим секретарем, а з 2009 року — головою докторської спеціалізованої вченої ради ІПКіК НАН України. Член спеціалізованої вченої ради в Інституті ендокринної патології і хімії гормонів АМН України ім. В.Я. Данилевського, член експертної комісії та редколегії журналу «Проблеми кріобіології». Голова обласних суспільств кріобіологів і кріомедиків та імунологів; член суспільств імунологів і алергологів України. А.М. Гольцев є автором 460 наукових праць, у тому числі 4 монографій, 29 патентів. Під його керівництвом захищені 12 кандидатських дисертаційних робіт та здійснюється підготовка ще 9. Науковий консультант 3 докторських дисертацій. За цикл робіт «Імунологічні особливос­ті кріоконсервованих гемопоетичних клітин» нагороджений Почесною грамотою науково-медичного суспільства м. Харкова (1992), Соросівський професор (1998). Лауреат премії ім. В.Я. Данилевського (2002). У 2008 р. отримав відзнаку НАН України «За наукові досяг­нення». Анатолій Миколайович з дружиною виховали двох синів. «Предела совершенству нет» — улюблений життєвий вислів академіка А.М. Гольцева.