Народився 20 травня 1940 року у м. Донецьку. Вищу освіту здобув на гірничому факультеті Донецького політехнічного інституту за спе­ціальністю «Гірничий інженер». Наукова діяльність А.Д. Алєксєєва розпочалася у 1963 році у стінах Донецького політехнічного інституту з посади асистента кафедри розробки родовищ корисних копалин. У 1967 році він перейшов до Донецького фізико-технічного інституту ім. О.О. Галкіна НАН України, де працював старшим науковим співробітником, керівником лабораторії та керівником відділу. З 1992 року — заступник директора з наукової роботи, від 1996 року — завідувач, а з 1998 року — директор Відділення фізико-технічних гірничих проблем Донецького фізико-технічного інституту НАН України. З квітня 2002 року очолює Інститут фізики гірничих процесів. Під керівництвом Анатолія Дмитровича в Інституті було засновано наукову школу «Фізики вугілля та гірничих процесів», де згуртувалися науковці, які на базі досліджень структури вугільної речовини та фізичних властивостей гірничих порід розробили нові методи та способи управління станом гірничого масиву при розробці вугільних пластів Донбасу, що дозволило поліпшити умови праці шахтарів та запобігти аварійним ситуаціям. У 1972 році саме під безпосереднім керів­ництвом професора А.Д. Алєксєєва вперше в СРСР і за кордоном була розроблена і створена унікальна установка нерівнокомпонентного тривісного стиснення, яка дозволяє моделювати напружений стан гірського масиву для глибин до 3000 м. Науковцем розроблений та впроваджений комплексний спосіб оцінки викидонебезпеч­ності вугільних пластів, їх безпечного розкриття та відробки, які базуються на використанні закономірностей зміни фізико-механічних властивостей вугілля при його обробці водяними розчинами поверхнево-активних речовин. За його участі здійснено наукове відкриття щодо стану метану у вугіллі, яким доведено, що метан міститься у вугіллі за типом твердого розчину в такій кількості, що його можна розглядати альтернативним енергоресурсом для держави. Автор 14 монографій, 300 наукових праць, ним отримано понад 50 патентів та свідоцтв на винаходи. Усі здобутки та досягнення Анатолія Дмитровича були відзначені державою та громадськими організаціями. Він нагороджений медаллю «За безупречный труд» (1970), орденом «За заслуги» І—ІІІ ступенів (2001, 2004, 2008), відзнакою «За доблесну службу» (2003), Почесною грамотою Верховної Ради України «За особливі заслуги перед українським народом» (2005) та Почесною грамотою НАН України (2003). Лауреат Всеукраїнського рейтингу «Золота фортуна» (1999) та регіональної акції «Золотий скіф» (2003). За видатні досягнення в галузі експериментальної фізики 1990 року став лауреатом премії ім. О.О. Скочинського, а 2001 pоку — лауреат премії ім. І. Пулюя НАН України. Повний кавалер відзнак «Шахтарська доблесть» (1999, 2000, 2001) та «Шахтарська слава» Міністерства вугільної промисловості України (1968, 1978, 1984), «Заслужений шахтар України» (1995). А.Д. Алєксєєв веде велику суспільну роботу, бере участь у роботі комісії з надзвичайних ситуацій при особливо складних випадках на шахтах. Він є заступником голови Донецького наукового центру НАН України, головою Донбаського наукового центру Академії гірничих наук України, головою та членом наукових рад і редакційних колегій наукових видань.